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  • 数学パズル!

    こんにちは!千尋です。


    今日は、ある妖精たちの住む村でのクイズを紹介したいと思います。
    数学科の友人から教えてもらったものです。数学パズルに興味がある方、是非挑戦してみて下さい!

    **************************************
    問題
     深い森の奥に妖精の住む村がありました。そこには,赤色の帽子をかぶっている妖精と青色の帽子をかぶっている妖精が合わせて400 人いました。しかし、赤と青の帽子が何人いるのか、自分の帽子が何色なのか、に無関心に暮らしていました。その上,他人の帽子の色には触れてはならない掟があったのです。
     ところが、自分の帽子の色がわかるときがきました。100 年に1 度、青い帽子をかぶった妖精しか参加できない祭りの開催です。
     誰も自分の帽子の色を知らないので、知らない内は祭りに参加出来ます。しかし,もし自分が赤い帽子だと分かったら最後,翌日からの参加は出来ないのです。
     初日は、妖精全員が参加しました.みんな密かに赤い帽子と青い帽子が何人ずついるか数えてみました。でも掟のため、話題にできません。妖精たちは、自分の推理で自分の帽子の色を判断しなければならないのです。実はこの祭りの初日には、青い帽子の妖精が200 人、赤い帽子の妖精が200 人、参加していました。

    では、赤い帽子の妖精が祭りから1 人もいなくなるのは何日目でしょうか?
    **************************************


    条件を整理してみましょう。(上の長文を読むのが面倒な方は、ここから先だけ見て下さい)

    ①妖精たちは赤か青の帽子を被っている。

    ②自分の帽子の色は見えないが、自分以外の帽子の色は見える。教えあうことはない。

    ③妖精たちは、赤い帽子と青い帽子それぞれの人数を知らない。(実は200人ずついる)

    ④妖精たちはみんな、自分以外に赤い帽子と青い帽子それぞれ何人いるかを正確に数えられる

    さて、青い帽子の妖精だけの祭りになるのは何日目でしょうか?

    余力のある人は、青い帽子の妖精がm人,赤い帽子の妖精がn人の場合(ただしmもnもゼロではない)についても考えてみて下さい!


    答えは下にあります↓↓↓














    の前に、ヒントを1つ。

    200人ずつだと分かりにくいので、問題の設定を少し変えて考えてみて下さい。
    又、問題の設定上、全員が同じ色の帽子でないことは分かっています。(赤青、最低一人は絶対にいます)
















    それでは解説を始めます。





    ***************************************
    解説:今回は200 人ずつという設定ですが、方針を立てるために、もっと分かりやすい場合について考えてみます。

    (i) 赤:1青:399 のとき
    赤A の視点から見ると399 人が青なので自分は赤だとわかり、2 日目は来ない。よって、2 日目で赤はいなくなる

    (ii) 赤:2青:398 のとき
    1 日目、赤A から見ると赤が1 人、青が398 人である。
    そこで赤A は「もし自分が青なら,赤B は(i) のように考えて2日目は来ないだろう」と考える。
    しかし、赤B は2 日目も来た。
    「ってことは自分も赤なんだ」と赤A は気づき、3 日目は来ない。もちろん赤B も同様に考えて、3日目は来ない。
    よって(ii) の場合は3 日目で赤はいなくなる

    (iii) 赤:3青:397 のとき
    1 日目,赤A から見ると赤が2 人、青が397 人である。そこで赤Aは「もし自分が青なら、赤B,C は(ii) のように考えて3 日目は来ないだろう」と考える。しかし、赤B,C は3 日目も来た.「ってことは自分も赤なんだ」と赤Aは気づき、4 日目は来ない。もちろん赤B,C も同様に考えて、4 日目は来ない。よって(iii) の場合は4 日目で赤はいなくなる

    以下、帰納的に考えれば、一般に「赤がn 人いるときはn + 1 日目に赤が(一斉
    に) いなくなる」ことがわかる。
    すなわち、答えは201 日目である!!
    ****************************************


    いかがでしたか?
    それにしてもこの村の妖精たち、みんな頭がいいですね…。



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    たまたま通った者ですが
    この場合初日は全ての妖精が赤200人青199人 か 青200人赤199人に見えているはずです

    他の妖精の帽子を話題にしてはいけないのでは
    永久に自分の帽子の色はわからないんじゃないですか?

    解説も読んだのですが赤2人 青398人の場合でも赤が1人来なくなる以前に赤2人からしたら自分の帽子の色を確定させることはできないのでまず1人もいなくならないような気がします

    No:153 2011/07/25 20:09 | #- URL [ 編集 ]

    言葉が足りなくてすみません。
    他の妖精の帽子の色を話題にしなくても、自分で数え続けるだけで自分の帽子の色を確定させることができます。

    赤の帽子の妖精は、1人ずつ減っていくのではなく、全員同じ日に来なくなります。

    ()赤2人、青398人の場合について
     初日、赤い帽子の妖精(妖精A、Bとします)からは、赤1人、青398人が見えています。妖精Aが、自分が赤であることを特定するまでについて考えてみます。

    ①妖精Aが青い帽子の場合
     妖精Bからは、青い帽子の妖精399人が見えているはずです。
     全員が同じ色でないことは分かっているので、妖精Bは2日めに来なくなるはずです。

    ②妖精Aが赤い帽子の場合
     妖精Bからは、赤1人、青398人が見えているはずです。
     この状態では妖精Bは自分の帽子の色を特定することができないので、2日めも来ます。


    さて。お祭りの2日目、妖精Bも参加しました。この時点で、②妖精Aは赤い帽子であると分かります。
    全く同じことが妖精Bについても言えるので、妖精Bも赤い帽子であると分かります。

    よって、お祭りの3日目に妖精A、Bは参加できないことになります。

    No:154 2011/07/29 22:35 | 千尋 #- URL [ 編集 ]



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